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我省今年的高考数学卷,十分注重对数学学科内涵的理解和把握,多角度、多层次地考查了数学理性思维和学科素养,体现了考基础、考素质、考潜能的目标追求。试卷带给我们丰富的内涵和启示,现谨不试卷中的几个问题抒见已拙见。
一、亮点扫描
1.多思少算,好似冬天里的一把火。
数学是一门思维学科,涉及思维方法与思维策略。我省2010年数学考试说明指出,数学科的考试,按照“考查基础知识的同时,注重考查能力”的原则,确立以能力立意命题的指导思想,“高考对能力的考查,应以抽象概括能力、推理论证能力为重点,全面考查各种能力”。
先来看小题:
例1(数学第14题)已知函数f(x)=3sin(wx-π)(ω>0)和g(x)=2cos(2x+ψ)+1的图像的对称轴完全相同。若x∈[0,π],则f(x)的取值范围是_________。
评析:应注意到,函数f(x)和g(x)的图像都是正弦型曲线,而一个正弦型函数两相邻对称轴的距离是半周期,对称轴完全相同,周期必相同,从而得出ω=2,找到了解题的突破口。如果考生从求两得的对称轴方程切入,也不难求解,但前者的解法明显简易。类似的还有2010年理科数学第8题,考生一开始可能感到很难入手,但只要画出已知不等式所表示的平面区域,观察图形,发现点(1,1)到直线3x-4y-9=0的距离最小即可。
再来看解答题:
例2(第19题)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶,经过t小时与轮船相遇。(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(Ⅱ)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。
评析:(Ⅰ)凭直觉思维,据“点到直线的距离中,垂线段最短”可知,小艇向正北方向航行,则相遇时航行距离最小,即可解出;但若从建立距离约函数关系去求最值,则解法较繁。(Ⅱ)联想动物捕猎物时,是用最快的速度追击,类比本题中小艇追击问题,猜想,取ν=30时,能以最短时间与轮船相遇,从而设计出航行方案,而后再结合理性思维给予证明。证明时,可以用正弦定理,也可以用余弦定理,但计算量相差悬殊。
上述问题的求解,因思维水平的差异以及思考的切入点不同,导致运算繁间不一,能区分出学生思维的洞察力和发散性,解题过程中既有直观感知、合情推理,又有理性思维,因此,通过对思维策略的优化选择,试题达到了考查思维敏捷性与深刻性的目的。
控制全卷的计算量,排除由于计算繁琐耗时过多或由于计算错误而造成失分的现角,突出对数学核心思维能力的考查,成为新课标下福建高考数学卷的一大亮点。去年的选择题特别强调“多思少算”,作为压轴的第10题也如此要求。但去年全卷的计算量集中到了第19、20两题上,难度过于集中,对于尖子生的区分度不高。反思原因,笔者发现,传统的高考题中,最大计算量的试题属于解析几何(压轴题),似乎圆锥曲线就是考查学生综合素质与能力的唯一载体。由于计算量大,对数据的处理需要一定的技巧(命题者存心刁难考生),因此绝大多数考生得分较低。这种以计算求解能力作为能力立意的压轴题,优等生的数学优势得不到体现,有失合理。如果说2009年仅是尝试的话,那么2010年的命题可以说是大刀阔斧,解析几何的考题从压轴题的位置调整到第17题,没有了繁难的数据处理,该题一经问世,就受到了普遍欢迎,这对解析几何教学起到了“纠偏”和“引领”的作用。
作为高考试题各题能力的考查应该层层布局、有所侧重,做到多元的能力层次结构与合理的比例分布。作为区分高层次的数学优秀人才的压轴题,应该抛弃繁琐的计算,侧重考查学习潜能与探究意识。“多考一点思考,少考一点计算”,将成为新课标下我省高考数学卷的改革方向。
2、网络交汇,突出对主干知识的考查。
今年的理科数学题,在知识网络的交汇处命题的有第7、9、18、20题,共4道,而去年仅有第15、20两题。命题者巧妙地将非主干知识点与主干知识点进行交叉、渗透和组合,加强了学科知识的内在联系,体现了基础性与综合性,对主干知识(函数与导数、数列、三角函数、立体几何、解析几何、概率与统计)的考查,今年占121分,而去年是103分。这充分体现了“对重点内容进行重点考查,保持较高的比例,并达到必要的深度”的命题理念。值得一提的是,理科数学第20题,综合了函数、导数、定积分等基础知识,可谓新颖别致、自然流畅,表面上是考代数,其实也考查了解析几何的基本思想。
在知识网络交汇处设计试题,一直是高考命题的热点。因此,我们既要关注章内知识的纵向发展,又要关注不同章节知识之间的横向交汇。特别是函数与导数这块内容,颇有难度,命题空间很大,适合对发散、综合以及分析推理等高层次能力进行考查。此外,导数是高等数学的基础课程,大学教授对此很有研究,容易创新,因此,对于该主干知识的考查,短期内,命题方向不会改变。
3.创新试题,来源于高等数学。
现在,参加高考命题的专家队伍是以高校教授为主导的,随着高校介入的加深,以高等数学为背景的一些创新题纷纷闪亮登场,构成了一道亮丽 风景线。其中,2009年理科数学第20题,实际上是求拐点,从中学角度看,此题令人生畏,但从高等数学角度来讲,难度不大,属于“一捅即破”的题型。今年理科数学第9题,其背景来至代数结构中的“群的概念”,阅读量小,新而不难。耐人寻味的是,作为“大众教育”的新课程,删去了大纲中的极限的定义,可今年的高考却又以此为背景命题,把它从幕后搬到了台前。
例3(第10题)对于具有相同定义哉D的函数f(x)和g(x),若存在函数h(x)=kx=b(k,b为常数),对任给的正数m,存在相应的x0∈D,使得当x∈D且x>x0时,总有   则称直线l:y=kx +b为曲线y=f(x)与y=g(x)的“分渐近线”。给出定义域均为D={x|x>1}的四组函数如下:
①f(x)=x2,g(x)=;②f(x)=10-x+2,g(x)=;③f(x)=,g(x)=;④f(x)=,g(x)=2(x-1-e-x)。
其中,曲线y=f(x)与y=g(x)存在“分渐近线”的是()。
A.①④            B.②③         C.②④      D.③④
评析:本题的背景是函数极限的定义,试题以抽象的数学符号语言为载体,阅读量大,考生要能读懂“分渐近线”的定义,并能图形和概念关系起来。对图形进行观察、思考后,容易判断①的两个图像不满足,而②满足。对于③,暂时画不出图像,要根据代数运算进行理性思考。变形得:f(x)=x+,g(x)=x=;当x→+∞时,→同,所以f(x)以直线y=x为渐近线,但当x>1时,f(x)>x,g(x)>x,故两函数不存在“分渐近线”,淘汰③。
高考既然是选拔性考试,必然体现数学学科的基本特点——高度的抽象性。反思新课标下的教学,由于对于知识的要求宽而不深,造成部分教师的误解:对于能力的要求也不高。其实,对能力的培养是数学教学的核心,“上不封顶”这句话,不管是过去、现在、还是将来都适用。因此在平时教学中,应按照因材施教的原则,循环上升,适度拔高。可以预测,高观点、高视点试题,将是高考试题命制的一个新趋势、新方向。
二、些许建议
新课程下的福建省高考数学卷,有很多背景公平的创新题,但“新而不怪”,考查的几乎都是教材中最基本、最重要的数学知识和数学思想方法。但由于部分试题与考生平时的训练联系不大,不少考生感到不适应,于是责怪、抨击的声音此起彼伏,命题专家的良苦用心未必被社会普遍认可。其实,这是教育转型期带来的阵痛,是正常的。建议命题专家的改革力度放缓一点,同时也建议一线教师认真反思,积极研究高考,进而科学备考,即改变以往片面追求解题数量、不求思维质量的题海战术,平时教学不要赶进度,要相信学生,多给学生一点思维空间与思考时间。
新课程下的高考命题纵然“忐忑”,我们依然要昂首前列。

 

 

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